Tak, zrootowany. Próbowałem SDfix jak jeszcze miałem 7.1.3.0, ale zdaje się, że on rozwiązuje problem z brakiem uprawnień w Androidzie 4.4, a mam do czynienia z 5.1. Wydaje mi się, że różne wersje Androida w różny sposób podchodziły do zapisu na karcie pamięci. Teraz zgodnie z Twoją radą spróbowałem FolderMount. Niby pokazał się komunikat i coś zmienił, ale AirDroid nadal nie pozwala zapisywać na karcie pamięci.
Co ciekawe, niektóre programy na to pozwalają, np. ES File Eksplorer bezproblemowo kopiuje na kartę pamięci. Z kolei ten: https://play.google.com/store/apps/details?id=com.rhmsoft.fm&hl=pl za nic w świecie nie pozwala skopiować. Ja już nie wiem, o co chodzi z tymi uprawnieniami...